정글사관학교 20일차 TIL: 크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘

 

오늘은 크루스칼 알고리즘만 빠르게 정리하는 것으로.

 

크루스칼 알고리즘은 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘에 해당한다. 최소 신장 트리는 무엇이냐?

 

최소 신장 트리

최소 신장 트리는 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 말한다. 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해보자.

 

두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치한다.

이때 모든 노드는 서로 연결되면서 & 최소 비용으로 연결될 수 있도록 한다. 1->3에서 비용은 25에 해당하므로, 이를 제거하고

1->2, 2->3으로 트리를 구성할 때 최소 비용으로 트리를 구성할 수 있다.

 

크루스칼 알고리즘은 이를 구할 수 있는 대표적인 신장 트리 알고리즘에 해당한다. 그리디 알고리즘으로도 분류된다고 하는데, 아직 그리디를 제대로 배우지 않아서 이 개념은 패스. 크루스칼의 구체적인 동작 과정을 살펴보자.

 

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다. (위의 케이스의 경우 13 - 23 - 25)
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인 (사이클은 모든 노드가 서로 연결되어서 하나의 순환 고리를 형성하는 케이스를 뜻한다.)
   1. 사이클이 발생하지 않는 경우, 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   2. 사이클이 발생하면 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다(사이클이 형성되면 트리 구조에 어긋나므로).
3. 모든 간선에 대해 2번을 반복.

예제를 보자.

 

위와 같은 그래프에서 최소 신장 트리를 찾아보자.

 

1. 그래프의 모든 간선 정보에 대해 오름차순으로 정렬을 수행한다. 이후 비용이 적은 간선부터 먼저 크루스칼 알고리즘을 수행한다.

2. 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (3, 4)를 선택하여 처리한다.

3. 2를 계속 반복해가면서 최소 신장트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다.

4. 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (1, 5)를 선택하여 처리한다.

 

코드를 보면 아래와 같다.

# 특정 원소가 속한 집합 찾기

def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기 (union)

def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parnet[a] = b

# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, stdin.readline().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력받기

for _ in rnage(e):
    a, b, cost = map(int, stdin.readline().split())
    # 비용 순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫번쨰 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))

# 간선을 비용 순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost

print(result)

크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.

크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선을 정렬을 수행하는 부분이다.